私の父は今年の5月に死亡しましたが、父の市民税は?

個人の市民税は、賦課期日の毎年1月1日現在、市内に住所のある人に対して、前年中（1月から12月まで）の所得に基づいて、その年度の課税が決定されることになっています。
したがって、年の途中で死亡された人に対しても、前年中の所得に基づいて、その年度の課税が決定されていますので、その年度の市民税は納めていただかなければなりません。あなたのお父さんが納めていただくことになっていた今年度分の市民税については、相続をされた人がその納税義務を引き継ぐことになり、その残りの税額を納めていただくことになります。
なお、今年中に死亡された人に対しては、来年度分の市民税は課税されませんが、所得税の申告が必要となる場合がありますので、くわしくは税務署へお問い合わせください。