今年の5月に死亡した父名義の固定資産税は、どのようになるのでしょうか?

固定資産税の納税義務者が死亡した場合は、通常、法務局（登記所）で所有権移転登記（相続登記）の手続きをしていただくことになります。この相続登記を今年中に済ませたときは、来年度から、その登記名義人に課税されます。また、なにか事情があって、来年の賦課期日、1月1日を過ぎても、この相続登記を済ませていないときは、1月1日現在、その資産を現に所有している人に課税されます。
そのときには、相続人の中から、固定資産税に関する書類などを受け取る代表者を決めて、固定資産税課まで届け出てください。ただし、この手続きは、相続登記や相続税の課税とはまったく関係ありません。
なお、今年度分の固定資産税については、相続をする人が、その納税義務を引き継ぐことになり、今年度分の残りの税額を納めていただくことになります。