4月にA市から米子市へ引越してきましたが、どちらに市民税を納めるのですか?

お尋ねの例では、A市に納めていただくことになります。個人の市民税を納めなければならない人は、
1. 市内に住所がある人
2. 市内に住所はないが、事務所・事業所や家屋敷がある人です。
市内に住所や事務所などがあるかどうかについては、賦課期日である、その年の1月1日現在の状況で判断されます。
あなたの場合、2015年（平成27年）1月1日現在にはA市に住所がありましたので、2015年度（平成27年度）分の市民税は、米子市ではなくA市で課税されることになります。
ですから、A市の納税通知書で、A市に納めてください。
なお、2015年（平成27年）12月末日までに米子市へ転入され、そのまま米子市に住んでおられる場合は、2016年度（平成28年度）分の市民税は米子市で課税されることになります。
【参考】住所の認定
原則として、住所の認定は住民基本台帳に記録されているかどうかによりますが、実際に記録されていなくても、賦課期日現在において、米子市を生活の中心の場にしている場合は、米子市で課税されることになります。